Немецкий предлог auf переводится чаще всего как "на" и употребляется и с Dativ, и с Akkusativ. Рассмотрим все случаи употребления:
1) при обозначении места - "где?" (Dativ)
auf dem Boden liegen — лежать на полу
auf dem Bahnhof sein — быть на вокзале
auf der Straße treffen — встретить кого-либо на улице
auf der anderen Seite — на другой странице [стороне]
auf der Welt — в мире
auf der Erde — на земле
auf dem Wege in die Stadt, nach Hause — по дороге в город, домой
auf dem Lande wohnen — жить в деревне
seine Ferien auf dem Lande verbringen — проводить свои каникулы [свой отпуск] в деревне [за городом]
auf der Krim — в Крыму
auf der Reise — в пути, во время путешествия
das Buch liegt auf dem Tisch — книга лежит на столе
er sitzt auf dem Sofa — он сидит на диване
auf dem Bild sehen wir ein Haus — на картине мы видим дом
2) при обозначении направления - "куда?" (Akkusativ)
auf die Straße, auf die Post, auf den Hof, auf die andere Seite der Straße gehen — идти на улицу, на почту, во двор, на другую сторону улицы
auf das [aufs] Land, auf die Krim fahren — ехать в деревню [за город], в Крым
ich lege das Buch auf den Tisch — я кладу книгу на стол
ich setze mich auf das Sofa — я сажусь на диван
auf die Schule, auf die Universität gehen — поступать в школу, в университет
sich auf den Weg machen — отправиться в путь
3) при обозначении времени - "когда?" (Dativ)
auf drei Tage geben — дать что-либо на три дня
ich bin nur auf fünf Tage gekommen — я приехал только на пять дней
auf einen Augenblick — на мгновение
auf Wiedersehen! — до свидания!